τριγωνομετρία

Κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με το θεμελιώδες πρόβλημα του υπολογισμού όλων των στοιχείων ενός τριγώνου, όταν μας είναι γνωστά μερικά από αυτά, αλλά ικανά να το προσδιορίσουν. Επειδή τα τρίγωνα διακρίνονται σε επίπεδα και σφαιρικά, γι’ αυτό και η τ. χωρίζεται σε επίπεδη και σε σφαιρική. Σφαιρικά τρίγωνα επί της επιφάνειας μιας σφαίρας γράφονται με τον προσδιορισμό επ’ αυτής τριών σημείων που δεν ανήκουν στον αυτό μέγιστο κύκλο και με τη συνένωσή τους, ανά δύο, με τόξα μεγίστων κύκλων. Επειδή δεν είναι δυνατόν να δοθούν οι απευθείας σχέσεις μεταξύ γωνιών και πλευρών ενός τριγώνου, με τις οποίες να αναζητήσουμε τη λύση του θεμελιώδους προβλήματος της τ., γι’ αυτό χρησιμοποιούμε μερικές τιμές που εξαρτώνται από τις γωνίες και συνδέονται δι’ απλών σχέσεων με τις πλευρές. Οι τριγωνομετρικοί αυτοί αριθμοί, που λέγονται και κυκλικές συναρτήσεις, είναι: το ημίτονο (ημ), το συνημίτονο (συν), η εφαπτομένη (εφ), η συνεφαπτομένη (σεφ), η τέμνουσα (τεμ) και η συντέμνουσα (στεμ). Αν σε ένα επίπεδο ορίσουμε ένα μονομετρικό σύστημα ορθογώνιων καρτεσιανών αξόνων συντεταγμένων με αρχή Ο (Σχήμα), και έστω C η περιφέρεια ενός κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα 1 (τριγωνομετρικός κύκλος), Ρ ένα σημείο της C και α η γωνία που διαγράφεται από τον θετικό ημιάξονα των x αν περιστραφεί κατά φορά αντίθετη προς τους δείκτες του ρολογιού και συμπέσει με την ημιευθεία OP, τότε ημ α και συν α είναι αντίστοιχα η τετμημένη και η τεταγμένη του Ρ. Εάν t είναι η εφαπτομένη επί της περιφέρειας C στο σημείο Α με συντεταγμένες 1, Ο και Q, το σημείο της συνάρτησης της ευθείας OP με την t ορίζεται ως εφ α η τετμημένη του Q. Ορίζουμε επίσης σεφ α, τεμ α, στεμ α με τις σχέσεις: Το ημ α και το συν α είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο 2π, οι τιμές των οποίων περιλαμβάνονται μεταξύ ± 1. Η εφ α και σεφ α έχουν περίοδο π και, εφόσον μεταβάλλονται από 0 μέχρι π., προσλαμβάνουν όλες τις τιμές μεταξύ ± . Οι θεμελιώδεις σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσων προέρχονται από τη διατύπωση του πυθαγόρειου θεωρήματος, ημ²α + συν²α = 1 και από τους τύπους: Από τις σχέσεις αυτές προέρχονται απευθείας ή ενδιαμέσως και πολλές άλλες.Τύπους πρόσθεσης και αφαίρεσης ονομάζουμε αυτούς που εκφράζουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γωνίας α ± β ως προς τις τιμές α και β· οι τύποι αυτοί είναι: ημ (α±β) = ημ α συν β ± συν α ημ β συν (α±β) = συν α συν β ± ημ α ημ β Από τους τύπους πρόσθεσης βρίσκουμε τους τύπους του πολλαπλού ενός τόξου: ημ 2α = 2ημ α συν α· συν 2α = 2 συν²α = 1· Στους τύπους διπλασιασμού, αν αντικαταστήσουμε  με α, έχουμε τους τύπους της διχοτομίας: Μεγάλη πρακτική σημασία έχουν οι τύποι προσθαφαίρεσης, που μας επιτρέπουν να μετατρέψουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις σε γινόμενα και έτσι να γίνει δυνατός ο υπολογισμός τους με τους λογάριθμους. Οι τύποι αυτοί προκύπτουν αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε κατά μέλη αντίστοιχα τους τύπους του ημ (α±β) και συν (α±β), και θέσουμε όπου α+β = p, και όπου α – β = q. Τότε έχουμε: Για να λύσουμε λοιπόν ένα θεμελιώδες πρόβλημα της τ. χρησιμοποιούμε τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών a, b, c και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών α, β, γ, ενός και του αυτού τριγώνου. Οι σχέσεις αυτές βασικά προκύπτουν: 1) από το θεώρημα των ημιτόνων που εκφράζει την αναλογία μεταξύ πλευρών και ημιτόνων των απέναντι γωνιών: όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο· 2) από το «θεώρημα των προβολών»: a = b συν γ + c συν β και οι άλλοι παρόμοιοι τύποι που λαμβάνονται από τους προηγούμενους με κυκλική αντικατάσταση των ψηφίων 3) από το θεώρημα του Καρνό ή θεώρημα του συνημίτονου (γενίκευση του θεωρήματος του Πυθαγόρα ως προς ένα οποιοδήποτε τρίγωνο): α² = b² + c² – 2bc συν α Από τα θεωρήματα αυτά προκύπτουν, με κατάλληλες μετατροπές, άλλοι τύποι που μπορούν να υπολογιστούν με τους λογάριθμους και είναι επομένως κατάλληλοι για μια πρακτική εφαρμογή, που γίνεται πάντοτε με τη χρησιμοποίηση των τριγωνικών λογαριθμικών πινάκων. Οι κυριότεροι από τους τύπους αυτούς είναι οι εξής, στους οποίους έχει τεθεί: p = (a + b + c) / 2: καθώς και άλλοι ανάλογοι τύποι για τις άλλες γωνίες, που προέρχονται από αυτούς τους οποίους αναφέραμε με κυκλική αλλαγή των ψηφίων 2) οι νεπέρειοι τύποι: και οι ανάλογοι με αυτούς 3) οι τύποι του Ντελάμπρ ή του Γκάους και οι ανάλογοι με αυτούς. Τα θεωρήματα και οι τύποι που αναφέραμε επιτρέπουν να υπολογιστούν όλα τα στοιχεία ενός τριγώνου, όταν δίνονται τα τρία από αυτά, τα οποία είναι ικανά να το προσδιορίζουν (μεταξύ των τριών στοιχείων πρέπει να περιλαμβάνεται πάντοτε, τουλάχιστον, μία πλευρά). Όταν, π.χ., δίνονται α, β, γ, έχουμε α = 180° – (β + γ), και από το θεώρημα των ημιτόνων έχουμε: Όταν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές a, b, c, έχουμε: και τους ανάλογους. Εάν S είναι το εμβαδόν ενός τριγώνου, προκύπτει ότι S (½) ab ημ γ, από τον οποίο, με εύκολες μετατροπές, καταλήγουμε: S = (p-a) (p-b)(p-c) Η σφαιρική τ., όπως και η επίπεδη, ερευνά κατά πρώτο λόγο τις υφιστάμενες σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων των πλευρών και των γωνιών ενός σφαιρικού τριγώνου, για να μπορεί ακολούθως, όταν δοθούν μερικά στοιχεία του τριγώνου ικανά να το προσδιορίσουν, να βρει από τα γνωστά τα άγνωστα στοιχεία. Η θεμελιώδης διαφορά μεταξύ της επίπεδης και της σφαιρικής τ. προέρχεται από το γεγονός ότι σε ένα σφαιρικό τρίγωνο το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του είναι πάντοτε μεγαλύτερο των 180° (η διαφορά (α + β + γ) – 180° σημειώνεται συνήθως με το ψηφίο ε). Τα ικανά στοιχεία για τον προσδιορισμό ενός σφαιρικού τριγώνου είναι τρία. Μεταξύ των πλευρών a, b, c και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των γωνιών, α, β, γ, ενός δοθέντος τριγώνου, υπάρχουν οι εξής θεμελιώδεις σχέσεις: 1) θεώρημα του συνημιτόνου ή του Όιλερ: συν a = συν b συν c + ημ b ημ c συν α και οι ανάλογοι με κυκλική ανατικατάσταση των ψηφίων· 2) θεώρημα των ημιτόνων: 3) θεώρημα των προβολών: ημ α συν b = ημ c συν β + ημ b συν α συν γημ α συν c = ημ b συν γ + ημ c συν α συν β και τα άλλα ανάλογα· 4) θεώρημα των συνεφαπτομένων: σεφ b ημ a = συν α συν γ + ημ γ σεφ β σεφ c ημ a = συν α συν β + ημ β σεφ γ και τα ανάλογα· 5) δοθέντος p = (a + b + c) / 2, οι νεπέρειοι τύποι: Αν τα θεωρήματα αυτά χρησιμοποιηθούν κατ’ ανάλογο τρόπο, όπως και στην επίπεδη τ., είναι δυνατό να λυθούν τα προβλήματα των σφαιρικών τριγώνων κατά τις διάφορες περιπτώσεις. Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι οι ισότητες που συνδέουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας άγνωστης γωνίας. Η λύση, π.χ., της εξίσωσης ημ χ + συν χ – 1 = 0 σημαίνει να προσδιορίσουμε για ποια γωνία χ ή για ποιες γωνίες ισχύει μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημ χ και συν χ η σχέση της ισότητας αυτής. Για να λύσουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση, χρησιμοποιούμε τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ώστε η εξίσωση που δίνεται να περιλαμβάνει μία μόνο τριγωνομετρική συνάρτηση της άγνωστης γωνίας. Αντικαθιστώντας τότε το y λαμβάνουμε μια αλγεβρική εξίσωση του άγνωστου y. Μετά τον προσδιορισμό των ριζών της y₀ με τους τριγωνομετρικούς πίνακες, καταλήγουμε στις άγνωστες τιμές των γωνιών. Στο προηγούμενο παράδειγμα που παρίστανε τη σχέση ημ²χ + συν²χ = 1, το συν χ = ± √1 - ημ²χ λαμβάνεται με αντικατάσταση: και συνεπώς

* * *

η, Ν

1. μαθημ. κλάδος τών μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη ειδικών συναρτήσεων τών γωνιών και με τις εφαρμογές τους σε υπολογισμούς στη γεωμετρία

2. φρ. α) «επίπεδη τριγωνομετρία» — τριγωνομετρία που αναφέρεται σε επίπεδα τρίγωνα ή, γενικά, σε επίπεδα σχήματα

β) «σφαιρική τριγωνομετρία» — τριγωνομετρία που αναφέρεται στα σφαιρικά τρίγωνα και γενικά στα σχήματα που σχηματίζονται από τόξα μέγιστων κύκλων μιας σφαίρας.

[ΕΤΥΜΟΛ. < τριγωνομέτρης. Η λ. μαρτυρείται από το 1749 στους Μεθ. Ανθρακίτη και Μπαλ. Βασιλόπουλο].